Question

17．已知平行四边形两条邻边长分别为a，b，两条对角线长为m，n，求证：m²+n²=2（a²+b²）

Answer 1

分析 作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，再根据四边形ABCD是平行四边形，求证△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，由勾股定理得AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，所以AC²+BD²=2（AB²+BC²）进而得出答案．

解答 证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
在△ABE和△DCF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得
AC²=AE²+EC²=AE²+（BC-BE）²，
BD²=DF²+BF²=DF²+（BC+CF）²=AE²+（BC+BE）²，
∴AC²+BD²=2AE²+2BC²+2BE²=2（AE²+BE²）+2BC²．
又∵AE²+BE²=AB²，
∴AC²+BD²=2（AB²+BC²），
∵AB=a，BC=b，AC=m，BD=n，
即m²+n²=2（a²+b²）．

点评 此题主要考查学生对勾股定理、平行四边形的性质和全等三角形的性质的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性很强，有一定的拔高难度，属于难题．