Question

【题目】如图，等边△ABC中，点D是BC上任意点，以AD为边作∠ADE=∠ADF=60°，分别交AC，AB于点E，F.

(1)求证：AD2=AE×AC

(2)已知BC=2，设BD的长为x，AF的长为y，求y关于x的函数表达式.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)y=x2-x+2(0≤x≤2).

【解析】

（1）只要证明△ADE∽△ACD，即可解决问题．

（2）先证明△DAF∽△BAD，得到AD2=AF×AB，根据（1）的结论可以得到AE=AF，又证明△ABD∽△DCE，得到，则有，即可得到答案.

解：(1)在等边△ABC中∠B=∠C=60°

∵∠ADE=60°

∴∠ADE=∠ACD，∠DAE=∠CAD

∴△ADE∽△ACD

∴=

∴AD2=AE×AC；

(2)∵∠B=∠ADF，∠DAF=∠BAD

∴△DAF∽△BAD

∴=

∴AD2=AF×AB

∴△DAF∽△BAD

由(1)知AD2=AE×AC，且AB=AC

∴AE=AF

∵∠B=∠C=∠ADE且∠BAD+∠B=∠ADE+∠CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE

∴

∵BC=2，BD=x，AF=y

∴AB=2，CD=2-x，CE=2-y

∴=

∴.