【题目】(基础运用)
如图①所示,直线L:y=x+5与x轴负半轴,y轴正半轴分别交于A、B两点.
(1)点A坐标为 ,S△OAB= ;
(2)如图②所示,设Q为AB延长线上一点,作直线OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,①求证:△AOM≌△OBN;②若AM=4,求MN的长;
(思维延伸)直线L:y=mx+5m与x轴负半轴,y轴正半轴分别交于A、B两点.
(3)当m取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,分别以OB、AB为边,点B为直角顶点在第 一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EF交y轴于P点,如图③.问:当点B在y轴正半轴上运动时,试猜想线段PE与线段PF的数量关系并证明;
(4)如图③,当m取不同的值时,点B在y轴正半轴上运动,以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE,则动点E在直线 上运动.(直接写出直线的表达式)
【答案】(1)(-5,0),;(2)①证明见详解,②7;(3)PE=PF,证明见详解;(4)y=-x+5.
【解析】
(1)由直线L解析式,求出A与B坐标,从而可以求出△OAB的面积.
(2)①由OA=OB,对顶角相等,且一对直角相等,利用AAS得到△AMO≌△OBN.
②已知AO和AM,利用勾股定理从而求得OM以及MN.
(3)如图,作EK⊥y轴于K点,利用AAS得到△AOB≌△BKE,利用全等三角形对应边相等得到OA=BK,EK=OB,再利用AAS得到△PBF≌△PKE,从而进行求证即可.
(4)由(3)可得OA=BK=5,EK=OB=5m,则可得OK=OB+BK=5m+5,即可得点E(-5m,5m+5),继而可知动点E在直线y=-x+5上运动.
解:(1)∵直线L:y=x+5与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A,B两点,
∴A(-5,0),B(0,5),S△OAB=
(2)①∵AM⊥OQ,BN⊥OQ,
∴∠AMO=∠BNO=90°,∠AOM+∠OAM=90°,
∵∠AOM+∠BON=90°,
∴∠OAM=∠BON,
在△AOM与△OBN中,∠OAM=∠BON,∠AMO=∠BNO,OA=OB,
∴△AOM≌△OBN (AAS),
②由题意得OA=5,AM=4,利用勾股定理求得OM=3,又由①△AOM≌△OBN,可知AM=ON=4,即有MN=OM+ON=3+4=7.
(3)PE=PF.
理由︰如图,作EK⊥y轴于K点,
∵△ABE为等腰直角三角形,
∴AB=BE,∠ABE=90°,
∴∠EBK+∠ABO=90°,
∵∠EBK+∠BEK=90°,
∴∠ABO=∠BEK ,
在△AOB和△BKE中,∠BKE=∠AOB=90°,∠ABO=∠BEK ,AB=BE,
∴△AOB≌△BKE(AAS),
∴OA=BK,EK=OB,
∵△OBF为等腰直角三角形,
∴OB=BF,EK=BF,
在△EKP和△FBP中,∠EKP=∠PBF=90°,∠KPE=∠BPF,EK=FB,
∴△PBF≌△PKE(AAS),
∴PE=PF.
(4)如图3,∵A(-5,0),B(0,5m),
∴OA=BK=5,EK=OB=5k,
∴OK=OB+BK=5m+5,
∴点E(-5m,5m+5),
∵动点E在直线y=-x+5上运动.
故答案为︰y=-x+5.
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【题目】近几年来,为了缓减环境污染,某区加大了对煤改电的投资力度,该区居民在2015年有7500户完成煤改电,2017年有10800户完成了煤改电.
(1)求该区2015年至2017年完成煤改电户数的年平均增长率;
(2)2018年该区计划要完成煤改电的户数比2017年要有所增长,但增长率不超过15%,请求出2018年最多有多少户能完成煤改电.
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【题目】一般地,“任意三角形都是自相似图形”,只要顺次连接三角形各边中点,则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把(图乙)第一次顺次连接各边中点所进行的分割,称为阶分割(如图);把阶分割得出的个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割,称为阶分割(如图)…,依此规则操作下去.阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(为正整数),设此时小三角形的面积为.请写出一个反映,,之间关系的等式________.
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【题目】如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.
(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为和,将菱形的“接近度”定义为,于是,越小,菱形越接近于正方形.
①若菱形的一个内角为,则该菱形的“接近度”等于 ;
②当菱形的“接近度”等于 时,菱形是正方形.
(2)设矩形相邻两条边长分别是和(),将矩形的“接近度”定义为,于是越小,矩形越接近于正方形.
你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC上,BE、CD相交于点O.
(1)若BD=CE,试说明:OB=OC.
(2)若BC=10,BC边上的中线AM=12,试求AC的长.
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【题目】(本题满分8分)
如图,点E,F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.
(1)求证:AB=DC;
(2)试判断△OEF的形状,并说明理由.
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【题目】如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D.
(1)直线BE与AD的位置关系是 ;BE与AD之间的距离是线段 的长;
(2) 若AD=6cm,BE=2cm.,求BE与AD之间的距离.
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【题目】基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简称).请你在此基础上解决下面问题:
(1)叙述三角形全等的判定方法中的;
(2)证明.要求:叙述要用文字表达;用图形中的符号表达已知、求证,并证明,证明时各步骤要注明依据.
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