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【题目】(基础运用)

如图①所示,直线Ly=x+5x轴负半轴,y轴正半轴分别交于AB两点.

1)点A坐标为 SOAB=

2)如图②所示,设QAB延长线上一点,作直线OQ,过AB两点分别作AMOQMBNOQN,①求证:△AOM≌△OBN;②若AM=4,求MN的长;

(思维延伸)直线Ly=mx+5mx轴负半轴,y轴正半轴分别交于AB两点.

3)当m取不同的值时,点By轴正半轴上运动,分别以OBAB为边,点B为直角顶点在第 一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE,连EFy轴于P点,如图③.问:当点By轴正半轴上运动时,试猜想线段PE与线段PF的数量关系并证明;

4)如图③,当m取不同的值时,点By轴正半轴上运动,以AB为边在第二象限作等腰直角△ABE,则动点E在直线 上运动.(直接写出直线的表达式)

【答案】1(-50);(2证明见详解,②7;(3PE=PF,证明见详解;(4y=-x5.

【解析】

1)由直线L解析式,求出AB坐标,从而可以求出△OAB的面积.

2OA=OB,对顶角相等,且一对直角相等,利用AAS得到△AMO≌△OBN.

已知AOAM,利用勾股定理从而求得OM以及MN.

3)如图,作EKy轴于K点,利用AAS得到△AOB≌△BKE,利用全等三角形对应边相等得到OA=BKEK=OB,再利用AAS得到△PBF≌△PKE,从而进行求证即可.

4)由(3)可得OA=BK=5EK=OB=5m,则可得OK=OB+BK=5m+5,即可得点E(-5m5m+5),继而可知动点E在直线y=-x+5上运动.

解:(1)∵直线Ly=x5x轴负半轴、y轴正半轴分别交于AB两点,

A(-50)B(05)SOAB=

2AMOQBNOQ

∴∠AMO=BNO=90°,∠AOM+∠OAM=90°,

∵∠AOM+∠BON=90°,

∴∠OAM=BON

在△AOM与△OBN中,∠OAM=BON,∠AMO=BNOOA=OB

△AOM≌△OBN (AAS)

由题意得OA=5AM=4,利用勾股定理求得OM=3,又由①△AOM≌△OBN,可知AM=ON=4,即有MN=OM+ON=3+4=7.

3PE=PF.

理由︰如图,作EKy轴于K点,

∵△ABE为等腰直角三角形,

AB=BE,∠ABE=90°,

∴∠EBK+∠ABO=90°,

∵∠EBK+∠BEK=90°,

∴∠ABO=BEK ,

在△AOB和△BKE中,∠BKE=AOB=90°,ABO=BEK ,AB=BE,

∴△AOB≌△BKE(AAS)

OA=BKEK=OB

∵△OBF为等腰直角三角形,

OB=BFEK=BF

在△EKP和△FBP中,∠EKP=PBF=90°,KPE=BPF,EK=FB,

∴△PBF≌△PKE(AAS)

PE=PF.

4)如图3,∵A(-50)B(05m)

OA=BK=5EK=OB=5k

OK=OBBK=5m5

∴点E(-5m5m5)

∵动点E在直线y=-x5上运动.

故答案为︰y=-x5.

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