Question

【题目】如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，OA交⊙O于点E．
（1）证明：直线AB与⊙O相切；
（2）若AE=a，AB=b，求⊙O的半径；（结果用a，b表示）
（3）过点C作弦CD⊥OA于点H，试探究⊙O的直径与OH、OB之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图所示：连接CO，

∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∵OC为⊙O的半径，

∴直线AB与⊙O相切

（2）解：在直角三角形OAC中用勾股定理就可以了．设半径为r，则OC=r，OA=a+r，

AC= AB= b，

在Rt△AOC中，

OC2+AC2=OA2，

则r2+ b2=（a+r）2，

解得：r= ﹣

（3）解：d2=4OH×OB，

理由：∵OA⊥CD，OC⊥AC，

∴∠OCA=∠OHC，

∵∠HOC=∠COA，

∴△HOC∽△COA，

∴ ，

即OC2=OH×OA，

∵OC垂直平分AB，

∴OA=OB，

设直径为d，则OC= ，

∴（ ）2=OH×OB，

即d2=4OH×OB．

【解析】（1）利用段垂直平分线的性质得出OC⊥AB，进而得出答案即可；（2）利用勾股定理得出OC2+AC2=OA2 ， 进而得出⊙O的半径；（3）首先得出△HOC∽△COA，进而得出OC2=OH×OA，即可得出⊙O的直径与OH、OB之间的数量关系．