Question

7．如图，已知二次函数的图象关于x=-1对称，且最小值为-4，经过A（1，0）、B（0，-3）
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使△APB的面积为10？存在则求出点P的坐标，不存在则说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函数的图象关于x=-1对称，得到抛物线的对称轴为直线x=-1，求出抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-3，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），把B（0，-3）代入解方程即可得到结论；
（2）由于点P在抛物线上，于是设P（x，x²+2x-3），根据已知条件得到方程即可解得结果．

解答 解：（1）∵二次函数的图象关于x=-1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵二次函数的图象经过A（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-3，0），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
把B（0，-3）代入得a•3•（-1）=-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+3）（x-1），即y=x²+2x-3；

（2）存在，设P（x，x²+2x-3），如图，
由题意得：$\frac{1}{2}$（3+x²+2x-3+3）•（1-x）-$\frac{1}{2}$•（-x）•（x²+2x-3+3）-$\frac{1}{2}$•1•3=10，
解得：x₁=-4，x₂=5，
∴P（-4，5），（5，32）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．