Question

3．如图所示，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，且OA：OC=1：3，S_△ABC=6．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）抛物线上是否存在一点D（点C除外），使S_△ABD=S_△ABC？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由．
（3）抛物线上是否存在一点E（点B除外），使S_△ACE=S_△ABC？若存在，求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积，可得AB的长，根据线段的和差，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行线间的距离相等，可得D点的纵坐标，根据函数值，可得答案；
（3）根据平行线的一次函数的一次项系数相等，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=3，即OC=3．
由OA：OC=1：3，
解得OA=1，即A点坐标为（-1，0）．
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=6，
解得AB=4．-1+4=3，
即B（3，0）．
将A、B点的坐标代入函数解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）如图1：，
根据平行线间的距离相等，可得D点的纵坐标为3或-3．
当y=3时，-x²+2x+3=3，解得x=0（不符合题意，舍），x=2，
即D点的坐标为（2，3）；
当y=-3时，-x²+2x+3=-3．
解得x=1-$\sqrt{7}$，x=1+$\sqrt{7}$，
即D点坐标为（1-$\sqrt{7}$，-3），（1+$\sqrt{7}$，-3）；
综上所述：抛物线上存在一点D（点C除外），使S_△ABD=S_△ABC，D点坐标（2，3），（1-$\sqrt{7}$，-3），D（1+$\sqrt{7}$，-3）；
（3）过点B作AC平行线，如图2，
S_△ACE=S_△ABC，由平行线间的距离相等，得
设AC的函数解析式y=kx+b，将A、C点的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
函数解析式为y=3x+3，
由BE∥AC，设BE的解析式为y=3x+b，将B点坐标代入函数解析式，得
3×3+b=0．
解得b=-9，
即BE的解析式为y=3x-9，
联立BE与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-9}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
解得x=-4，x=3（不符合题意，舍），
当x=-4时，y=3×（-4）-9=-21，
即E（-4．-21）．

点评 本题考查了二次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式，利用平行线间的距离相等得出D点的纵坐标是解题关键；利用平行线间的关系得出BE的解析式是解题关键．