Question

18．如图，矩形ABCD的顶点AB在x轴上，点D的坐标为（6，8），点E在边BC上，△CDE沿DE翻折后点C恰好落在x轴上点F处，若△ODF为等腰三角形，点E的坐标为（16，3）或（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）或（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．

Answer 1

分析 先依据勾股定理求得OD=10，①当OD=DF时，由勾股定理可求得AF=6，故此可求得OF=12，由翻折的性质可知DC=10，从而得到点E的横坐标为16，FB=4，最后在Rt△EFB中，依据勾股定理列方程求解即可；②当OD=OF时．先求得AF=4，由勾股定理可求得DF=4$\sqrt{5}$，从而得到点E的横坐标为6+4$\sqrt{5}$，FB=4$\sqrt{5}$-4，最后在Rt△EFB中，依据勾股定理列方程求解即可；③当OF=DF时，设点F的坐标为（b，0），依据两点间的距离公式列出关于b的方程可求得b=$\frac{25}{3}$．即OF=$\frac{25}{3}$，从而得到AF=$\frac{7}{3}$，依据勾股定理可求得DF=$\frac{25}{3}$，从而得到点E的横坐标为$\frac{43}{3}$，BF=6，最后在Rt△EFB中，依据勾股定理列方程求解即可．

解答 解：∵点D的坐标为（6，8），
∴OD=10．
①当OD=DF=10时．
∵DF=10，AD=8，
∴AF=6．
∴OF=12．
由翻折的性质可知：DC=DF=10，FE=CE，
∴点E的横坐标为16．
∴FB=4．
设点E的纵坐标为a，则FE=8-a．
在Rt△EFB中，FB²+BE²=FE²，即4²+a²=（8-a）²，解得a=3．
∴点E的坐标为（16，3）．
②当OD=OF时．
∵OF=10，0A=6，
∴AF=4．
∵在Rt△DAF中，DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
∴点E的横坐标为6+4$\sqrt{5}$．
∴FB=4$\sqrt{5}$-4．
设点E的纵坐标为a，则FE=8-a．
在Rt△EFB中，FB²+BE²=FE²，即（4$\sqrt{5}$-4^）2+a²=（8-a）²，解得a=2$\sqrt{5}$-2．
∴点E的坐标为（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）．
③当OF=DF时，设点F的坐标为（b，0），则8²+（b-6）²=b²．解得：b=$\frac{25}{3}$．即OF=$\frac{25}{3}$．
∵OA=6，OF=$\frac{25}{3}$，
∴AF=$\frac{7}{3}$．
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\frac{25}{3}$．
由翻折的性质可知：DC=DF，则点E的横坐标为$\frac{25}{3}$+6=$\frac{43}{3}$．
在Rt△EFB中，FB²+BE²=FE²，即（$\frac{43}{3}$-$\frac{25}{3}$）²+a²=（8-a）²，解得a=$\frac{7}{4}$．
∴点E的坐标为（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．
综上所述，点E的坐标为（16，3）或（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）或（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．
故答案为：（16，3）或（4$\sqrt{5}$+6，2$\sqrt{5}$-2）或（$\frac{43}{3}$，$\frac{7}{4}$）．

点评 本题主要考查的是翻折变换，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、等腰三角形的判定，分类讨论是解题的关键．