Question

13．如图，已知点A（0，a），B（b，0），C（0，c），且|a+4|+$\sqrt{{b^2}-8b+16}$=0，（c+1）²≤0，点D与点C关于直线AB对称，
（1）求直线AB的解析式和点C、D的坐标；
（2）点E在直线AB上，直接写出|EO-ED|的最大值和最小值及对应的点E的坐标；
（3）点F（-1，0），在平面内有一点P，使得△OAP∽△DAF，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由非负数的性质可求得a、b、c的值，从而得到点A、B、C的坐标，然后依据待定系数法可求得AB的解析式，由等腰直角三角形的性质和翻折的性质可证明△ADC为等腰直角三角形，从而可求得点D的坐标；
（2）由轴对称图形的性质可知EC=ED，由三角形的三边关系可知当点E与点A重合时，|EO-ED|有最大值，当EO=EC时，|EO-ED|有最小值；
（3）依据两边对应成立且夹角相等的两个三角形相似可知∠PAO=∠FAD且$\frac{AD}{OA}=\frac{FA}{PA}$，从而可求得点P的坐标，作P关于y轴对称点P′，由轴对称的性质可知△OAP′∽△DAF．

解答 解：（1）∵|a+4|+$\sqrt{{b^2}-8b+16}$=0，
∴a+4=0，b-4=0．
解得：a=-4，b=4．
∴A（0，-4）、B（4，0）．
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∵将A（0，-4）、B（4，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x-4．
∵（c+1）²≤0，（c+1）^2_≥0，
∴c+1=0．
解得：c=-1．
∴点C（0，-1）．
如图1所示：

∵A（0，-4）、B（4，0），
∴OB=OA．
∴∠OAB=45°．
∵点C与点D关于AB对称，
∴∠DAE=45°，CA=DA=3．
∴∠CAD=90°．
∴点D的纵坐标为（3，-4）．
（2）如图2所示：

∵点D与点C关于AB对称，
∴CE=DE．
∴|EO-ED|=|EO-ED|=|EO-EC|．
∴当点O、C、E在一条直线上时，|EO-EC|有最大值．
∴当点E的坐标为（0，-4）时，|EO-EC|的最大值为1，即|EO-ED|的最大值为1．
∵EO=EC时，|EO-ED|=|EO-EC|=0，
∴点E在OC的垂直平分线上．
∴点E的纵坐标为-$\frac{1}{2}$．
∵将y=-$\frac{1}{2}$代入y=x-4得：x=$\frac{7}{2}$，
∴E（$\frac{7}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
∴点E的坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{1}{2}$）时，|EO-ED|的最小值为0．
（3）如图3所示：过点P作PG⊥AD，垂足为G．

当∠PAO=∠FAD且$\frac{AD}{OA}=\frac{FA}{PA}$时，△OAP∽△DAF．
∵∠PAO=∠FAD，
∴∠FAO=∠PAG．
∴$\frac{PG}{AG}=\frac{OF}{OA}$=$\frac{1}{4}$．
设PG=a，则AG=4a．则由勾股定理可知：AP=$\sqrt{P{G}^{2}+A{G}^{2}}$=$\sqrt{17}$a．
∵OF=1，OA=4，
∴AF=$\sqrt{17}$．
∴$\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}a}$．
解得：a=$\frac{4}{3}$．
∴PG=$\frac{4}{3}$，AG=$\frac{16}{3}$．
∴点G的坐标为（-$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）．
作点P关于y轴对称点P′，由轴对称图形的性质可知△OAP≌△OAP′，P′（$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）．
∵△OAP∽△DAF，
∴△OAP′∽△DAF．
综上所述，点P的坐标为（-$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）或（$\frac{16}{3}$，$-\frac{16}{3}$）时，△OAP∽△DAF．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、非负数的性质、轴对称图形的性质、三角形的三边关系、相似三角形的判定，用含a的式子表示AP的长是解题的关键．