Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC边于点D，作DE⊥AC，垂足为点E，ED与AB的延长线交于点F．
（1）求证：ED为⊙O的切线．
（2）当BF=$\frac{1}{2}$AB，且CE=$\sqrt{3}$时，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C，∠ODB=∠OBD，等量代换得到∠C=∠ODB，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，证得DE⊥OD，根据切线的判定即可得到结论；
（2）连接AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据已知条件得到BF=OB=OD=$\frac{1}{2}$OF，解直角三角形得到∠F=30°，求得∠DOF=60°，证得OD∥AE，根据平行线的性质得到∠CAB=∠DOB=60°，推出△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AB=BC，∠C=60°，求得CD=2CE=2$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴ED为⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，BC=2CD，
∵BF=$\frac{1}{2}$AB，
∴BF=OB=OD=$\frac{1}{2}$OF，
∴∠F=30°，
∵∠DOF=60°，
∵OD⊥EF，AE⊥EF，
∴OD∥AE，
∴∠CAB=∠DOB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=60°，
∵CE=$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=2$\sqrt{3}$，
∴AB=BC=4$\sqrt{3}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴AF=AB+BF=6$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．