Question

13．如图，在正方形ABCD中，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：
①DQ与半圆O相切；②$\frac{PQ}{BQ}=\frac{4}{3}$；③∠ADQ=2∠CBP；④cos∠CDQ=$\frac{3}{5}$．
其中正确的是①③（请将正确结论的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 ①连接OD，OQ，证明△AOD与△QOD全等即可；
②连接AQ，借助三角函数和勾股定理求出PQ，BQ的长度即可求解；
③连接AQ，OQ，借助①②的相关结论，结合三角形外角的性质和同角的余角（补角）相等即可求解；
④过点Q作QH⊥CD，求出三角形DQH的三边长度即可确定相关的三角函数．

解答 解：①如图1

连接DO，OQ，在正方形ABCD中，AB∥CD，AB═CD，
∵P是CD中点，O是AB中点，
∴DP∥OB，DP═OB，
∴四边形OBDP是平行四边形，
∴OD∥BP，
∴∠1=∠OBQ，∠2=∠3，
又∵OQ=OB，
∴∠3=∠OBQ，
∴∠1=∠2，
在△AOD和△QOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=QO}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△QOD，
∴∠OQD=∠A=90°，
∴DQ与半圆O相切，
①正确；
②如图2

连接AQ，可得：∠AQB=90°，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABQ=∠BPC，
设正方形边长为x，则CP=$\frac{1}{2}$x，
由勾股定理可求：BP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴cos∠BPC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠ABQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{BQ}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，又AB=x，
可求，BQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$x，
∴$\frac{PQ}{BQ}$=$\frac{3}{2}$，
②不对；
③如图3

连接AQ，OQ，
由①知，∠OQD=90°，又∠OAD=90°，可求∠ADQ+∠AOQ=180°，
∵∠3+∠AOQ=180°，
∴∠3=∠ADQ，
由②知，∠1+∠4=90°，
又∠4+∠CBP=90°，
∴∠CBP=∠1，
∵OA=OQ，
∴∠1=∠2，
又∵∠3=∠1+∠2，
∴∠3=2∠CBP，
∴∠ADQ=2∠CBP，
故③正确；
④如图4，

过点Q作QH⊥CD，
易证QH∥BC，
设正方形边长为x，由②知：PQ=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$x，cos∠BPC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
可求：PH=$\frac{3}{10}$x，HQ=$\frac{3}{5}$x，
∴DH=DP+PH=$\frac{4}{5}$x，
由勾股定理可求：DQ=x，
∴cos∠CDQ=$\frac{DH}{DQ}$=$\frac{4}{5}$，
故④不正确．
综上所述：正确的有①③．

点评 此题考查圆的综合问题，熟悉正方形的性质，会构造平行四边形并运用其性质，会结合圆的性质构造直角三角形，构造全等三角形，会证明切线，能熟练的运用三角函数是解题的关键．