Question

5．已知直线y=-x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+mx+n经过A点，且与直线y=-x+6交于另一点P．
（1）若P与B点重合，求抛物线的解析式；
（2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式；
（3）若△OAP为等腰三角形，求m的值．

Answer 1

分析 （1）分别令x、y=0，可求出B、A点的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；
（2）由四边形PEOF面积为5可得出P点的坐标，结合A点的坐标利用待定系数法即可求得结论；
（3）设出P点坐标，由两点间的距离公式表示出△OAP的三条边，再分类讨论相邻两边相等得出结论．

解答 解：（1）令x=0，则y=6；
令y=0，则-x+6=0，解得：x=6．
故A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6）．
∵P与B点重合，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{6=n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-7}\\{n=6}\end{array}\right.$．
故当P与B点重合，抛物线的解析式为y=x²-7x+6．
（2）结合题意画出图形，如图1所示．

∵点P在线段AB上，
∴设P点坐标为（a，-a+6）（0＜m＜6），则有PE=6-m，PF=m．
四边形PEOF面积=PE•PF=（6-a）×a=5，
解得：a=1，或a=5，
即点P的坐标为（1，5）或（5，1）．
当点P坐标为（1，5）时，有$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{5=1+m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-8}\\{n=12}\end{array}\right.$，
此时抛物线的解析式为y=x²-8x+12；
当点P坐标为（5，1）时，有$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{1=25+5m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-12}\\{n=36}\end{array}\right.$，
此时抛物线的解析式为y=x²-12x+36．
综上可知，抛物线的解析式为y=x²-8x+12或者y=x²-12x+36．
（3）设点P的坐标为（b，6-b）．
∵点O（0，0），点A（6，0），
∴OP=$\sqrt{{b}^{2}+（6-b）^{2}}$，OA=6-0=6，PA=$\sqrt{（b-6）^{2}+（6-b）^{2}}$．
∵△OAP为等腰三角形，
∴分三种情况考虑．
①当OP=OA时，有$\sqrt{{b}^{2}+（6-b）^{2}}$=6，
解得：b=0，或b=6（舍去），
此时P点的坐标为（0，6）．
同（1）一样，故m=-7；
②当OP=PA，即$\sqrt{{b}^{2}+（6-b）^{2}}$=$\sqrt{（b-6）^{2}+（6-b）^{2}}$，
解得：b=3，
此时P点的坐标为（3，3）．
将P（3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{3=9+3m+n}\end{array}\right.$，解得m=-10；
③当OA=PA时，有6=$\sqrt{（b-6）^{2}+（6-b）^{2}}$，
解得：b=6±3$\sqrt{2}$，
此时P点的坐标为（6+3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$）或（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$）．
将P（6+3$\sqrt{2}$，-3$\sqrt{2}$），A（6，0）代入抛物线解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{-3\sqrt{2}=54+36\sqrt{2}+（6+3\sqrt{2}）m+n}\end{array}\right.$，解得m=-3$\sqrt{2}$-13；
将P（6-3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$），A（6，0）代入抛物线解析式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=36+6m+n}\\{3\sqrt{2}=54-36\sqrt{2}+（6-3\sqrt{2}）m+n}\end{array}\right.$，解得m=3$\sqrt{2}$-13．
综上可知：当△OAP为等腰三角形，m的值为-7，-10，-3$\sqrt{2}$-13和3$\sqrt{2}$-13．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式、长方形的面积公式、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用长方形的面积找出P点的坐标；（3）由两点间的距离公式分类讨论相邻两边相等的情况．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度也不大，单运算过程很繁琐，这就需要极大的耐心一步步运算．