Question

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，AD=2

3

-2．动点P在折线BA-AD-DC上移动，若存在∠BPC=120°，且这样的P点恰好出现3次，则梯形ABCD的面积是（　　）

• A、2

  3

  -1
• B、2

  3

  -2
• C、2

  3

• D、2

  3

  +1

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：由题意可知P点存在三次，AD中点正好有一次，求得∠APB=∠PBC=30°，根据特殊角的三角函数求得AM，根据等腰直角三角形性质求得AE=BE=DF=CF，设AE=BE=x，然后根据平行线分线段成比例定理得出

AP

BE

=

AM

ME

，从而求得AE=BE=DF=CF=1，BC=2

3

，即可求得梯形的面积；

解答：解：根据题意P点正好是AD的中点时∠BPC=120°，
∴∠PBC=∠PCB=30°，AP=

1

2

AD=

3

-1，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC=30°，
作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，
∵∠B=45°，
∴AE=BE=DF=CF，AM=

3

3

AP=

3

3

（

3

-1），
设AE=BE=x，
∵AD∥BC，
∴

AP

BE

=

AM

ME

，
即

3 -1

x

=

3 3 ( 3 -1)

x- 3 3 ( 3 -1)

，解得x=1，
∴AE=BE=DF=CF=1，BC=2

3

，
∴梯形ABCD的面积=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×(4

3

-2)×1=2

3

-1．
故选A．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，平行线分线段成比例定理，特殊角的三角函数以及梯形的面积，熟练掌握性质定理是解题的关键．