Question

几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴．现在有一个边长为2的正方形ABCD，E为AB的中点，P是AC上一动点． 请求出EP+PB的最小值．

（2）如图3，∠AOC=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：（1）根据正方形的性质，点B、D关于AC对称，连接DE与AC的交点即为所求点P，EP+PB的最小值等于DE，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，求出△PQR周长的最小值=P₁P₂，连接OP₁、OP₂，根据轴对称的性质求出△OP₁P₂是等腰直角三角形，然后求解即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴连接DE与AC的交点即为所求点P，EP+PB的最小值=DE，
由勾股定理得，DE=

22+12

=

5

；

（2）作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂，
则△PQR周长的最小值=P₁P₂，
连接OP₁、OP₂，则OP=OP₁=OP₂，∠AOP=∠AOP₁，∠BOP=∠BOP₂，
所以，OP₁=OP₂，∠P₁OP₂=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△OP₁P₂是等腰直角三角形，
∵PO=10，
∴PO₁=10，
∴P₁P₂=

2

PO₁=10

2

，
即△PQR周长的最小值为10

2

．

点评：本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰直角三角形的判定与性质，熟记轴对称的性质以及最短路线的确定方法是解题的关键．