Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10．
（1）求BC的长；
（2）有一动点P从点C开始沿C→B→A方向以1cm/s的速度运动到点A后停止运动，设运动时间为t秒；求：
①当t为几秒时，AP平分∠CAB；
②当t为几秒时，△ACP是等腰三角形（直接写答案）．

Answer 1

考点：勾股定理,角平分线的性质,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；
（2）①过点P作PD⊥AB于点D，根据角平分线的性质可得出PD=PC，由HL定理可得出Rt△APD≌Rt△APC，故AD=AC，设PC=x，则PB=8-x，在Rt△BPD中根据勾股定理求出x的值即可得出结论；
②当点P在BC上时，只有AC=PC两种情况；当点P在AB上时，分AP=AC，PC=AC，AC=AP三种情况进行讨论．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8；

（2）①如图1所示，
过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠CAB，
∴PD=PC．
在Rt△APD与Rt△APC中，

PD=PC AP=AP

，
∴Rt△APD≌Rt△APC（HL），
∴AD=AC=6，
∴BD=10-6=4．
设PC=x，则PB=8-x，
在Rt△BPD中，PD²+BD²=PB²，即x²+4²=（8-x）²，解得x=3，
∴当t=3秒时，AP平分∠CAB；
②如图2所示，
当点P在BC上时，
∵AC=P₁C=6，
∴t=6秒；
当点P在AB上，AC=AP₂时，
∵AC=AP₂=6，
∴BC+BP₂=8+4=12，
∴t=12秒；
当AC=P₃C时，如图3所示，
过点D作CD⊥AB于点D，则AD=DP₃，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

AD

6

=

6

10

，解得AD=3.6，
∴AP₃=7.2，
∴BC+BP₃=8+（10-7.2）=10.8，
∴t=10.8秒；
当CP₄=AP₄时，如图4所示，过点P₄作P₄E⊥AC于点E，
∵CP₄=AP₄，AC=6，
∴AE=

1

2

AC=3，
∴

AE

AP4

=

AC

AB

，即

3

AP4

=

6

10

，解得AP₄=5，
∴BC+BP₄=8+（10-5）=13，
∴t=13秒．
综上所述，t=6或t=10.8或t=12或t=13秒时，△ACP是等腰三角形．

点评：本题考查的是勾股定理，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．