Question

如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x²-6mx+m²+4=0的两根，并且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在的直线解析式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据等高三角形的面积等于底边比，可得出AC：OB=1：5，根据韦达定理得出AC、OB的和与积的值，然后联立AC、OB的比例关系式可求出AC、OB的长；
（2）本题要通过相似三角形求解，先得出△ACO∽△COB，根据相似三角形得出的OC²=AC•OB，可求出OC的长，进而可在直角三角形OAC中，求出OA的长，继而可得出点C的坐标，用待定系数法可求出OC所在直线的解析式；

解答：解：（1）∵AC、OB的长分别是关于x的方程x²-6mx+m²+4=0的两根，
∴AC+OB=6m，AC•OB=m²+4，
又∵S_△AOC：S_△BOC=1：5，
∴AC：0B=1：5，
综上可得：

AC：OB=1：5 AC+OB=6m AC•OB=m2+4

，
解得：

AC=1 OB=5

．
即AC长为1，OB长为5．

（2）由题意得：BC⊥OC，则∠BC0=90°，
∵∠OCA=∠BOC（同角的余角相等），∠OAC=∠BC0=90°，
∴△ACO∽△COB，
∴

AC

CO

=

CO

OB

，
∴CO²=5，
在Rt△AOC中，OA=

OC2-AC2

=2，
∴点C的坐标为（1，2），
设直线OC所在的直线解析式为y=kx，
将点C的坐标代入可得：2=k，
直线OC所在的直线解析式为y=2x．

点评：本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理及一元二次方程的根，解答本题的关键是求出AC、OB的长度，有一定难度．