Question

如图，H、I、J、K、L分别是正五边形ABCDE各边的中点，求证：五边形HIJKL是正五边形．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：证明题

分析：由H、I、J、K、L分别是正五边形ABCDE各边的中点，根据正五边形易证得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，AB=BC=CD=DE=AE，然后由等腰三角形的性质，可得AI=BI=BJ=CJ=CK=DK=DL=EL=EH=AH，继而证得∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLH=∠LHI，△AHI≌△BIJ≌△CIK≌△DKL≌△ELH（SAS）．则可得TJ=JK=KL=HL=HI，即可证得结论．

解答：证明：∴五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，AB=BC=CD=DE=AE，
∵H、I、J、K、L分别是正五边形ABCDE各边的中点，
∴AI=BI=BJ=CJ=CK=DK=DL=EL=EH=AH，
∴∠AHI=∠AIH=∠BIJ=∠BJI=∠CJK=∠CKJ=∠DKL=∠DLK=∠ELH=∠EHL，
∴∠HIJ=∠IJK=∠JKL=∠KLH=∠LHI，
在△AHI和△BIJ和△CIK和△DKL和△ELH中，

AH=BI=CJ=DK=EL ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E AI=BJ=CK=DL=EH

，
∴△AHI≌△BIJ≌△CJK≌△DKL≌△ELH（SAS）
∴TJ=JK=KL=HL=HI，
∴五边形HIJKL是正五边形．

点评：此题考查了正五边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．