Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F．
（1）求⊙O半径；
（2）若G为AB中点，求线段OG长度．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：（1）连接OD、OE、OF，如图，设⊙O半径为r，在Rt△ABC中根据勾股定理计算出AB=10，再证明四边形ODCE为正方形，则CD=CE=r，AD=8-r，BE=6-r，
根据切线长定理得AF=AD=8-r，BF=BE=6-r，所以8-r+6-r=10，解方程即可得到r的值；
（2）由=

1

2

AB=5，BF=4得到GF=BG-BF=1，然后在Rt△OGF中根据勾股定理可计算出OG．

解答：解：（1）连接OD、OE、OF，如图，设⊙O半径为r，
在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=

BC2+AC2

=10，
∵⊙O为△ABC内切圆，与三边分别相切于D、E、F，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴CD=CE=r，
∴AD=8-r，BE=6-r，
∵AF=AD=8-r，BF=BE=6-r，
∴8-r+6-r=10，
∴r=2，
即⊙O半径为2；
（2）∵G为AB中点，
∴BG=

1

2

AB=5，
而BF=6-r=4，
∴GF=BG-BF=5-4=1，
在Rt△OGF中，∵OF=2，GF=1，
∴OG=

OF2+GF2

=

5

．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线的性质与切线长定理．