Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=10，圆心角∠AOC=60°，点D是

AC

的中点，点P是直径AB上的一个动点，则PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：作点C关于AB的对称点C′，根据轴对称确定最短路线问题，连接C′D，C′D与AB的交点即为使PC+PD的值最小的点，此时PC+PD=C′D，连接OC′、OD，求出∠C′OD=90°，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的

2

倍解答．

解答：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D，
则C′D与AB的交点即为使PC+PD的值最小的点，此时PC+PD=C′D，
连接OC′、OD，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOC′=60°，
∵点D是

AC

的中点，
∴∠AOD=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠C′OD=30°+60°=90°，
∴△C′OD是等腰直角三角形，
∵直径AB=10，
∴半径OD=

1

2

×10=5，
∴C′D=

2

OD=5

2

，
即PC+PD的最小值是5

2

．
故答案为：5

2

．

点评：本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各性质并确定出点P的位置是解题的关键，难点在于作辅助线构造出等腰直角三角形．