Question

如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥AC，EF∥AB，再根据平行四边形的定义证明即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DH=AD，FH=AF，再根据等角对等边可得∠BAH=∠AHD，∠CAH=∠AHF，然后求出∠DHF=∠BAC，再根据平行四边形对角相等可得∠DEF=∠BAC，等量代换即可得证．

解答：证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）∵AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠BAH=∠AHD，∠CAH=∠AHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．