Question

已知在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8m，M从A开始以每秒一个单位的速度向B运动，N从C出发沿C→D到A方向，以每秒2个单位速度向A运动，过N作NQ⊥DC，交AC于Q．
（1）当t=2时，求NQ的长；
（2）设△AMQ面积为S，写出函数关系式及t的取值范围．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：动点型

分析：（1）作AE⊥CD，交CD的延长线于E，根据菱形的性质，结合解直角三角形得出ED=

1

2

AD=4，AE=

3

2

AD=4

3

，CE=12，然后根据平行线分线段成比例定理即可求得NQ．
（2）分两种情况讨论求得．

解答：解：（1）如图1，作AE⊥CD，交CD的延长线于E，
∵在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8m，
∴∠ADE=60°，
∴ED=

1

2

AD=4，AE=

3

2

AD=4

3

，
∴CE=8+4=12，
∵CN=2×2=4，
∵AE⊥CD，NQ⊥DC，
∴AE∥NQ，
∴

NQ

AE

=

CN

CE

，
∴NQ=

4

12

×4

3

=

4 3

3

m；
（2）当0＜t≤4时，如图1，
∵

NQ

AE

=

CN

CE

，
∴

NQ

4 3

=

2t

12

，
∴NQ=

2 3

3

t，
∴S_△AMQ=

1

2

×AM×（AE-NQ）=

1

2

×t×（4

3

-

2 3

3

t）=-

3

3

t²+2

3

t，
即S_△AMQ=-

3

3

t²+2

3

t，（0＜t≤4）；
当4＜t≤8时，如图2，作AE⊥CD，交CD的延长线于E，
∵在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8m，
∴∠ADE=60°，
∴ED=

1

2

AD=4，AE=

3

2

AD=4

3

，
∴CE=8+4=12，
∵NQ⊥DC，
∴FD=

1

2

ND=

1

2

（2t-8）=t-4，
∴CF=t-4+8=t+4，
∵AE⊥CD，NQ⊥DC，
∴AE∥NQ，
∴

FQ

AE

=

CF

CE

，即

FQ

4 3

=

t+4

12

，
解得，FQ=

3

3

（t+4），
∴QG=AE-FQ=4

3

-

3

3

（t+4），
∴S_△AMQ=

1

2

×AM×QG=

1

2

×t×[4

3

-

3

3

（t+4）]=-

3

6

t²+2（

3

-1）t，
即S_△AMQ=-

3

6

t²+2（

3

-1）t，（4＜t≤8）

点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形的应用，平行线分线段成比例定理的应用，三角形的面积的计算等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．