数学课堂上.陈老师出示一道试题:如图1所示.在正三角形ABC中.M是BC边上任意一点.P是BC延长线上一点.N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°.求证:AM=MN．(1)经过思考.小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．证明:在AB上截取EA=MC.连接EM.得△AEM．∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN.∠2=180°-∠AMB-∠B.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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数学课堂上，陈老师出示一道试题：
如图1所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程．请你将证明过程补充完整．
证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．又CN平分∠ACP，∠4=

∠ACP=60°，∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．∴△BEM为等边三角形．∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

，

，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．∴AM=MN．
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（正方形四条边都相等、四个角都是直角）（如图2），N₁是∠D₁C₁P₁的平分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？（写出答案，并仿照（1）证明）

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,正方形的性质

专题：阅读型

分析：（1）在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM，利用三角形内角和定理，利用等式的性质得到∠1=∠2，再由CN为角平分线，以及三角形BEM为等边三角形，得出∠MCN=∠5，利用ASA得到三角形AEM与三角形MCN全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）结论A₁M₁=M₁N₁仍然成立，理由为：在A₁B₁上截取A₁E=C₁M₁，连接EM₁，根据四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，利用正方形的性质得到A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=90°，确定出△EB₁M₁为等腰直角三角形，利用角平分线性质及邻补角定义得到∠A₁EM₁=∠N₁C₁P₁=135°，利用同角的余角相等得到∠B₁A₁M₁=∠N₁M₁C₁，利用ASA得到三角形A₁EM₁与三角形M₁N₁C₁全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

解答：

（1）证明：在AB上截取EA=MC，连接EM，得△AEM．
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB-∠B，∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2．
又∵CN平分∠ACP，∠4=

∠ACP=60°，
∴∠MCN=∠3+∠4=120°．①
又∵BA=BC，EA=MC，
∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM．
∴△BEM为等边三角形．
∴∠6=60°．
∴∠5=180°-∠6=120°．②
∴由①②得∠MCN=∠5．
在△AEM和△MCN中，

∠1=∠2

AE=CM

∠MCN=∠5

，
∴△AEM≌△MCN（ASA）．
∴AM=MN．
故答案为：∠1=∠2；AE=CM；∠MCN=∠5；
（2）解：结论A₁M₁=M₁N₁仍然成立，理由为：
在A₁B₁上截取A₁E=C₁M₁，连接EM₁，
∵四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，
∴A₁B₁=B₁C₁，∠B₁=90°，
∴EB₁=M₁B₁，即△EB₁M₁为等腰直角三角形，
∴∠B₁EM₁=45°，
∵C₁N₁为∠D₁C₁P₁的平分线，
∴∠A₁EM₁=∠N₁C₁P₁=135°，
∵∠B₁A₁M₁+∠A₁M₁B₁=90°，∠A₁M₁B₁+∠N₁M₁C₁=90°，
∴∠B₁A₁M₁=∠N₁M₁C₁，
在△A₁EM₁和△M₁N₁C₁中，

∠EA1M1=∠C1M1N1

A1E=M1C1

∠A1EM1=∠M1C1N1

，
∴△A₁EM₁≌△M₁N₁C₁（ASA），
∴A₁M₁=M₁N₁．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

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