Question

已知反比例函数的图象经过A（

1

a

，

2

a

）、B（

2a

a-1

，-

1-a

a

）两点．
（1）求反比例函数解析式并画出图象；
（2）设点C（m，n）为反比例函数图象上一动点，CD⊥x轴于点D，以CD为一边，把C、D与A、B分别连接围成的四边形的面积记作S．
①直接写出S关于m的函数关系式；
②S的值能否小于等于1．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）设反比例解析式为y=

k

x

，将A、B坐标代入就可求出a的值，从而可求出k的值，即可得到反比例解析式，然后画出图象即可解决问题；
（2）①由于以CD为一边，A、B、C、D为顶点的四边形并不唯一，故需分情况讨论，然后只需运用割补法就可解决问题；
②只需运用不等式的性质就可解决问题．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式是y=

k

x

，
把A和B的坐标代入得：

1

a

•

2

a

=

2a

a-1

•（-

1-a

a

），
解得：a=-1或a=1，
经检验：a=-1是方程的解，a=1是方程的增根，
∴a=-1，
∴A的坐标是（-1，-2），B的坐标是（1，2）．
把A（-1，-2）代入y=

k

x

，得：k=2，
则反比例函数的解析式是y=

2

x

，该图象如图1所示．


（2）①Ⅰ．当m＜-1时，如图2，

过点C作CF⊥y轴于F，过点A作AE⊥y轴于E，
∵点C（m，n）在双曲线y=

2

x

上，∴n=

2

m

．
∴DO=CF=-m，OF=CD=-

2

m

．
∵点A的坐标为（-1，-2），
∴AE=1，OE=2，EF=OE-OF=2-（-

2

m

）=2+

2

m

，
∴S_{四边形CDOA}=S_矩形CDOF+S_梯形CFEA-S_△OEA
=-m•（-

2

m

）+

1

2

（-m+1）•（2+

2

m

）-

1

2

×1×2
=1+

1

m

-m；
∵点B的坐标为（1，2），
∴S_△BOD=

1

2

×（-m）×2=-m，
∴S=S_{四边形ACDB}=S_{四边形CDOA}+S_△BOD
=1+

1

m

-m-m
=1+

1

m

-2m．
Ⅱ．当m＞1时，如图3，

过点C作CF⊥y轴于F，过点B作BE⊥y轴于E，
同理可得：S=1-

1

m

+2m．
综上所述：当m＜-1时，S=1+

1

m

-2m；当m＞1时，S=1-

1

m

+2m．
②S的值不会小于等于1．
理由如下：
当m＜-1时，m+1＜0，m＜0，-2m＞2，
∴1+

1

m

=

m+1

m

＞0，
∴S=1+

1

m

-2m=S=（1+

1

m

）+（-2m）＞2；
当m＞1时，m-1＞0，m＞0，2m＞2，
∴1-

1

m

=

m-1

m

＞0，
∴S=1-

1

m

+2m＞2．
综上所述：当m＜-1或m＞1时，S的值都大于2，不会小于等于1．

点评：本题主要考查反比例函数的坐标特征、运用待定系数法求反比例函数的解析式、解分式方程、不等式的性质等知识，运用待定系数法是解决第（1）小题的关键，运用分类讨论及割补法是解决第（2）①小题的关键，运用不等式的性质是解决第（2）②小题的关键．