Question

如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比．

Answer 1

考点：正多边形和圆

专题：

分析：首先根据题意画出图形，然后如图（1）过A作AD⊥BC于D，设正△ABC的内切圆半径AD=a，继而求得此正三角形的边长，继而求得面积；再如图（2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，设正六边形的内切圆半径OD=b；同理可求得此正六边形的面积，又由一个正三角形和一个正六边形的面积相等，即可求得答案．

解答：解：如图（1）过A作AD⊥BC于D，
设正△ABC的内切圆半径AD=a，
∴BC=AB=

AD

sin60°

=

2 3

3

a，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×

2 3

3

a×a=

3

3

a²；
如图（2）连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
设正六边形的内切圆半径OD=b；
∵∠AOB=

360°

6

=60°，
∴OA=AB=

OD

sin60°

=

b

sin60°

=

2 3

3

b，
∴S_△OAB=

1

2

×

2 3

3

b×b=

3

3

b²，
∴S_六边形=6S_△OAB=6×

3

3

b²=2

3

b²，
∵S_△ABC=S_六边形
∴

3

3

a²=2

3

b²，
∴a：b=

6

：1．
即正三角形和一个正六边形的内切圆半径之比为

6

：1．

点评：本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答．