Question

8．如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧$\widehat{BC}$上的一点（端点除外），连接AP，延长BP至点D，使BD=AP，连接PC、CD．
（1）如图1，若AP经过圆心O．
①求∠CAP的度数；
②猜想△PCD是何种特殊三角形，并加以证明．
（2）数字课代表小明经过摊就发现：“无论点P在劣弧$\widehat{BC}$上怎样运动（如图2），∠D的大小不会发生变化．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①根据等边三角形的性质得到∠BAC=60°，AB=AC，根据垂径定理得到$\widehat{BP}$=$\widehat{CP}$，根据圆周角定理得到答案；
②根据等边三角形的性质和题意证明△BAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）△CAP≌△DBC，得到PC=CD，根据圆内接四边形的性质得到∠DPC=60°，证明△PCD等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠D即可．

解答 解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，又AP经过圆心O，
∴$\widehat{BP}$=$\widehat{CP}$，
∴∠CAP=∠BAP=30°；
②△PCD等边三角形，
∵∠CAP=∠BAP，
∴BP=PC，
∵∠DBC=∠CAP=30°，
∴∠DBC=∠BAP，
在△BAP和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠BAP=∠DBC}\\{AP=BD}\end{array}\right.$，
∴△BAP≌△DBC，
∴BP=CD，
∴PC=CD，
∵∠BAC=60°，
∴∠DPC=60°，又PC=CD，
∴△PCD等边三角形；
（2）∠DBC=∠CAP，
在△CAP和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠CAP=∠CBD}\\{AP=BD}\end{array}\right.$，
∴△CAP≌△DBC，
∴PC=CD，又∠DPC=∠BAC=60°，
∴△PCD等边三角形，
∴∠D=60°，
∴无论点P在劣弧$\widehat{BC}$上怎样运动，∠D的大小不会发生变化．

点评 本题考查的是垂径定理的推理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及研究四边形的性质，灵活运用相关定理、数形结合思想是解题的关键．