Question

16．已知抛物线y=$\frac{1}{4}$x²与直线y=$-\frac{3}{4}$x+1交于A、B两点（A在B的左侧）
（1）求A、B两点的坐标．
（2）在直线AB的下方的抛物线上有一点D，使得ABD面积最大，求点D的坐标．
（3）把抛物线向右平移2个单位，再向下平移m（m＞0）个单位，平移后的抛物线与x轴交于E、F两点，直线AB与y轴交于点C．当m为何值时，过E、F、C三点的圆的面积最小，最小面积是多少？

Answer 1

分析 （1）直线解析式与二次函数解析式组成方程组，求得点A，B的坐标；
（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得D、E点坐标，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）由抛物线平移后为：y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-m，其对称轴是x=2．由于过E、F的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，即点C到圆心的距离要最短，过C作CG垂直抛物线的对称轴，垂足为G，则符合条件的圆是以G为圆心，GC长为半径的圆，求得圆的面积和m的值．

解答 解：（1）联立直线与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=-\frac{3}{4}x+1}\end{array}\right.$
解得：x²+3x-4=0，
解得x=-4或x=1．
当x=-4时y=4，
当x=1时，y=$\frac{1}{4}$；
A点坐标为（-4，4），B点坐标为（1，$\frac{1}{4}$）；
（2）如图1，作DE⊥x轴于E，
设D（m，$\frac{1}{4}$m²），E（m，-$\frac{3}{4}$m+1），
DE=-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1．
S_△ABD=S_△ADE+S_BDE
=$\frac{1}{2}$DE•|x_B-x_A|
=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{4}$m²-$\frac{3}{4}$m+1）×[1-（-4）]
=-$\frac{5}{8}$（m+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{125}{32}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，S_最大=$\frac{125}{32}$，
当m=-$\frac{3}{2}$时，$\frac{1}{4}$m²=$\frac{1}{4}$×（-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{16}$，
ABD面积最大，点D的坐标（-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{16}$）；
（3）如图2，
抛物线平移后为：y=$\frac{1}{4}$（x-2）²-m．其对称轴是x=2．
由于过E、F的圆的圆心必在对称轴上，要使圆的面积最小，则圆的半径要最小，
即点C到圆心的距离要最短，过C作CG垂直抛物线的对称轴，垂足为G，
则符合条件的圆是以E为圆心，EC=2长为半径的圆，
其面积为4π，
CG=EG=2，EH=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
OE=OH-HE=2-$\sqrt{3}$，
E点坐标为（2-$\sqrt{3}$，0）
把E点坐标代入抛物线的解析式，得
$\frac{1}{4}$×（2-$\sqrt{3}$-2）²-m=0，
解得m=0.75，
m的值0.75．

点评 本题考查了二次方程的综合运用，运用直线和二次函数方程求得交点坐标，以及通过求二次方程的判别式是否≥0，来判定其是否有解．以及考查抛物线的移动问题．