Question

【题目】如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：①∵AD∥BE，

∴∠ADB=∠DBC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD；

②∵AD∥BE，

∴∠ADC=∠DCE，

由①知AB=AD，

又∵AB=AC，

∴AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠ACD=∠DCE，

∴CD平分∠ACE

（2）解：∠BDC= ∠BAC，

∵BD、CD分别平分∠ABE，∠ACE，

∴∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE，

∵∠BDC+∠DBC=∠DCE，

∴∠BDC+ ∠ABC= ∠ACE，

∵∠BAC+∠ABC=∠ACE，

∴∠BDC+ ∠ABC= ∠ABC+ ∠BAC，

∴∠BDC= ∠BAC

【解析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到∠DBC= ∠ABC，∠DCE= ∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+ ∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠DC+ ∠ABC= ∠ABC+ ∠BAC，即可得到结论．