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【题目】在等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D为底边BC的中点,以D为顶点的角∠PDQ=∠B.

(1)如图1,若射线DQ经过点A,DP交AC边于点E,直接写出与△CDE相似的三角形;

(2)如图2,若射线DQ交AB于点F,DP交AC边于点E,设AF=x,AE为y,试写出y与x的函数关系式;(不要求写出自变量的取值范围)

(3)在(2)的条件下,连接EF,则△DEF与△CDE相似吗?试说明理由.

【答案】(1)(1)与△CDE相似的三角形为△ABD,△ACD,△ADE;理由见解析;(2)y=;(3)△DEF与△CDE相似.理由见解析.

【解析】试题分析:1)由等腰三角形的性质得出∠B=C,ADB=ADC=90°,因此ABD∽△ACD,证出∠PDQ=C,由∠DAE=CAD,得出ADE∽△ACD;在证出CDE∽△CAD,即可得出结果;

2)证出BDF∽△CDE,得出对应边成比例,即可得出yx的函数关系式;

3)由(2)可知:BDF∽△CDE,得出证出,由∠EDF=C,即可得出DEF∽△CED

试题分析:(1)与CDE相似的三角形为ABD,ACD,ADE;理由如下:

AB=AC,D为底边BC的中点,

∴∠B=C,ADBC,

∴∠ADB=ADC=90°

∴△ABD∽△ACD,

∵∠PDQ=B,

∴∠PDQ=C,

又∵∠DAE=CAD,

∴△ADE∽△ACD;

∵∠CDE+PDQ=90°

∴∠C+PDQ=90°

∴∠CED=90°=ADC,

又∵∠C=C,

∴△CDE∽△CAD,

∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE;

(2)∵∠FDC=B+BDF,

FDC=FDE+EDC,

∴∠EDC=BDF,

∴△BDF∽△CDE,

DBC的中点,

BD=CD=6,

y=

(3)DEFCDE相似.理由如下:如图所示:

由(2)可知:BDF∽△CDE,

BD=CD,

又∵∠EDF=C,

∴△DEF∽△CED.

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