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【题目】如图,直线y=4-x与两坐标轴分别相交于AB点,点M是线段AB上任意一点(AB两点除外),过M分别作MCOA于点CMDOB于点D

(1)当点MAB上运动时,四边形OCMD的周长为________;

(2)当四边形OCMD为正方形时,将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动,设平移的距离为a (0<a≤4),在平移过程中:

①当平移距离a=1时, 正方形OCMDAOB重叠部分的面积为________;

②当平移距离a是多少时,正方形OCMD的面积被直线AB分成l:3两个部分?

【答案】(1)8;(2)①3.5;②a=

【解析】试题分析:(1)设点M的横坐标为x,则点M的纵坐标为-x+40x4x0-x+40)根据四边形的周长计算方法计算即可发现,当点MAB上运动时,四边形OCMD的周长不发生变化,总是等于8

20a≤2时,S=4-a2=-a2+4,并且a=1可求出重叠部分的面积;

当四边形为OCMD为正方形时,先求得正方形的边长,从而可求得正方形的面积,可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1,然后再证明较小的部分为等腰直角三角形,从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度,于是可求得平移的距离.

试题解析:(1)(1)设OC=x,则CM=4-x

MCOAMDOBODOC

四边形OCMD为矩形,

四边形OCMD的周长=OD+OC+CM+DM=2CO+CM=2x+4-x=2×4=8

2如图( 2 ),当0a≤2时,S=SO′CMD-SMEF=4-a2=-a2+4

②∵当四边形为OCMD为正方形时,OC=CM,即x=4-x,解得:x=2

S正方形OCMD的面=4

正方形OCMD的面积被直线AB分成13两个部分,

两部分的面积分别为13

0a≤2时,如图1所示:

直线AB的解析式为y=4-x

∴∠BAO=45°

∴△MM′E为等腰直角三角形.

MM′=M′E

MM′2=1

MM′=,即a=

2a4时,如图2所示:

∵∠BAO=45°

∴△EO′A为等腰直角三角形.

EO′=O′A

O′A2=1,解得:O′A=

y=0代入y=4-x得;4-x=0,解得:x=4

OA=4

OO′=4-,即a=4-

综上所述,当平移的距离为a=a=4时,正方形OCMD的面积被直线AB分成13两个部分.

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