Question

如图，直线y=

1

2

x-2分别交x轴y轴于点A、B，C为AB中点，CD⊥x轴于点D，CD的延长线交反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象于点P，S_△POD=2．
（1）求点C的坐标；
（2）求k的值；
（3）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上是否存在一点Q，使△QAD≌△CDA？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由直线y=

1

2

x-2分别交x轴y轴于点A、B，可求得点A，B的值，又由C为AB中点，即可求得点C的坐标；
（2）由CD的延长线交反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象于点P，S_△POD=2，根据反比例函数中k的几何意义，即可求得答案；
（3）由△QAD≌△CDA，可知当QA⊥x轴，QA=1时，△QAD≌△CDA，即可求得点Q的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=

1

2

x-2分别交x轴y轴于点A、B，
∴当y=0时，

1

2

x-2=0，解得：x=4，
∴A（4，0），
∵当x=0时，y=-2，
∴B（0，-2），
∵C为AB中点，
∴点C（2，-1）；

（2）∵CD⊥x轴于点D，CD的延长线交反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象于点P，S_△POD=2，
∴k=2S_△POD=4；

（3）存在．
∵k=4，
∴反比例函数的解析式为：y=

4

x

，
∵△ACD是直角三角形，且CD=1，
∴当QA⊥x轴，QA=1时，△QAD≌△CDA，
当x=4时，y=

4

4

=1，
此时点Q（4，1）符合要求．
∴点Q的坐标为：（4，1）．

点评：此题考查了反比例函数的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，综合性较强，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．