Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC．求证：点F是AB的中点．

Answer 1

【答案】详见解析．

【解析】

由AD为角平分线可得再由∠BAE=∠CAE，由EF∥AC，根据两直线平行内错角相等可得∠AEF=∠CAE，所以∠AEF=∠BAE，根据等角对等边即可得AF=EF．又因∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，∠AEF=∠BAE，利用等角的余角相等可得出∠BEF=∠ABE，根据等角对等边得到即可得BF=EF，所以AF=BF，即F为AB的中点．

证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAE=∠CAE，

∵EF∥AC，

∴∠AEF=∠CAE，

∴∠AEF=∠BAE，

∴AF=EF，

又∵BE⊥AD，

∴∠BAE+∠ABE=90°，∠BEF+∠AEF=90°，

又∠AEF=∠BAE，

∴∠ABE=∠BEF，

∴BF=EF，

∴AF=BF，

∴F为AB中点．