Question

【题目】如图1，已知菱形ABCD的边长为2 ，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（﹣ ，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得AB的中点坐标为（﹣ ，0），CD的中点坐标为（0，3），

分别代入y=ax2+b得

，

解得， ，

∴y=﹣x2+3

（2）

解：①如图2所示，

在Rt△BCE中，∠BEC=90°，BE=3，BC=2

∴sinC= = = ，∴∠C=60°，∠CBE=30°

∴EC= BC= ，DE=

又∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C=180°

∴∠ADC=180°﹣60°=120°

要使△ADF与△DEF相似，则△ADF中必有一个角为直角．

（i）若∠ADF=90°

∠EDF=120°﹣90°=30°

在Rt△DEF中，DE= ，求得EF=1，DF=2．

又∵E（t，3），F（t，﹣t2+3），∴EF=3﹣（﹣t2+3）=t2

∴t2=1，∵t＞0，∴t=1

此时 =2， ，

∴ ，

又∵∠ADF=∠DEF

∴△ADF∽△DEF

（ii）若∠DFA=90°，

可证得△DEF∽△FBA，则

设EF=m，则FB=3﹣m

∴ ，即m2﹣3m+6=0，此方程无实数根．

∴此时t不存在；

（iii）由题意得，∠DAF＜∠DAB=60°

∴∠DAF≠90°，此时t不存在．

综上所述，存在t=1，使△ADF与△DEF相似；

②如图3所示，依题意作出旋转后的三角形△FE′C′，过C′作MN⊥x轴，分别交抛物线、x轴于点M、点N．

观察图形可知，欲使△FE′C′落在指定区域内，必须满足：EE′≤BE且MN≥C′N．

∵F（t，3﹣t2），∴EF=3﹣（3﹣t2）=t2，∴EE′=2EF=2t2，

由EE′≤BE，得2t2≤3，解得t≤ ．

∵C′E′=CE= ，∴C′点的横坐标为t﹣ ，

∴MN=3﹣（t﹣ ）2，又C′N=BE′=BE﹣EE′=3﹣2t2，

由MN≥C′N，得3﹣（t﹣ ）2≥3﹣2t2，解得t≥ 或t≤﹣ ﹣3（舍）．

∴t的取值范围为： ．

【解析】（1）根据已知条件求出AB和CD的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式；（2）本问是难点所在，需要认真全面地分析解答：
①如图2所示，△ADF与△DEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：（I）若∠ADF=90°时，△ADF∽△DEF，求此时t的值；（II）若∠DFA=90°时，△DEF∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值；（III）∠DAF≠90°，此时t不存在；②如图3所示，画出旋转后的图形，认真分析满足题意要求时，需要具备什么样的限制条件，然后根据限制条件列出不等式，求出t的取值范围．确定限制条件是解题的关键．
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．