Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，点M、N在直线BD上，点M在N点左侧，AM∥CN．

（1）如图1，求证：BM=DN；
（2）如图2，当∠ABC=90°，点M，N在线段BD上时，求证：BM+BN= AB；
（3）如图3，当∠ABC=60°，点M在线段DB的延长线上时，直接写出BM，BN，AB三者的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=CD，AB∥CD．

∴∠ABM=∠CDN．

∵AM∥CN，

∴∠AMN=∠MNC．

∴∠AMB=∠CND．

在△AMB和△CND中，

∴△AMB≌△CND．

∴MB=DN

（2）

解：由（1）得BM=DN．

∴BN+BM=DB．

当∠ABC=90°时，由勾股定理得；BD= = = AB．

∴MB+BN= AB

（3）

解：NB﹣BM= AB．

如图1所示：过点A作AE⊥MN，垂足为E．

由（1）得BM=DN．

又∵BD=BN﹣DN，

∴BD=BN﹣BM．

当∠ABC=60°时，∠ABE=30°，

又∵∠AEB=90°，

∴AE= AB．

∴在Rt△ABE中，BE= = = AB．

∵AB=AD，AE⊥BD，

∴BE=ED．

∴BD= AB．

∴BN﹣BM= AB．

由勾股定理得；BD= = = AB．

∴MB+BN= AB

【解析】（1）由菱形的性质可知AB=CD，AB∥CD，然后由平行线的性质和补角的性质∠ABM=∠CDN，∠AMB=∠CND，接下来依据AAS证明△AMB≌△CND，由全等三角形的性质可得到MB=DN；（2）由（1）得BM=DN，故此可得到BN+BM=DB，当∠ABC=90°时，在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD与AB的关系，从而得到BM+BN= AB；（3）过点A作AE⊥MN，垂足为E．由BM=DN可证明BD=BN﹣BM，当∠ABC=60°时，∠ABE=30°在Rt△ABE中，依据勾股定理可求得BE与AB的关系，然后再依据等腰三角形三线合一的性质可得到AB与BD的关系，于是得到BM，BN，AB三者的数量关系．
【考点精析】本题主要考查了菱形的性质的相关知识点，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能正确解答此题．