Question

7．已知抛物线y=x²+bx+c的顶点在第一象限，顶点横坐标是纵坐标的2倍，对称轴与x轴的交点在一次函数y=x-c的图象上，求b，c的值．

Answer 1

分析 由顶点坐标公式求得顶点坐标为（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$），由顶点横坐标是纵坐标的2倍得出一个方程，再由对称轴与x轴的交点在一次函数y=x-c的图象上得出另一个方程，建立方程组求得答案即可．

解答 解：抛物线y=x²+bx+c的顶点坐标为（-$\frac{b}{2}$，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$），
∵顶点横坐标是纵坐标的2倍，
∴-b=（4c-b²），①
∵对称轴与x轴的交点在一次函数y=x-c的图象上，
∴-$\frac{b}{2}$-c=0，②
①②联立方程组得$\left\{\begin{array}{l}{-b=4c-{b}^{2}}\\{-\frac{b}{2}-c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{c=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∵顶点在第一象限，
∴b=-1，c=$\frac{1}{2}$．

点评 此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点坐标公式是解决问题的关键．