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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的两个顶点B和C在x轴上,OB=OC,AB=2BC=4.若一条抛物线的顶点为A,且过点C,动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动,点P,Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E.

(1)求出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EFAD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,ACG的面积S最大?最大值为多少?

(3)在动点P,Q运动的过程中,是否存在点M,使以C,Q,E,M为顶点的四边形为菱形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(﹣1,4)y=﹣x2﹣2x+3;(2)t=2时,S的最大值为1;(3)t=20﹣8或t=

【解析】

试题分析:(1)根据矩形的性质可以写出点A的坐标;由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a(x﹣1)2+4,然后将点C的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式);

(2)利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6;由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4﹣t),据此可以求得点E的纵坐标,将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣;最后根据三角形的面积公式可以求得SACG=SAEG+SCEG=﹣(t﹣2)2+1,由二次函数的最值可以解得t=2时,SACG的最大值为1;

(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点H在直线EF上.

解:(1)在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的两个顶点B和C在x轴上,OB=OC,AB=2BC=4,

A(﹣1,4).得C(1,0)

设抛物线解析式为y=a(x+1)2+4,把C(1,0)代入得:a=﹣1,

抛物线的解析式为y=﹣(x+1)2+4,即y=﹣x2﹣2x+3;

(2)A(﹣1,4),C(1,0),

可求直线AC的解析式为y=﹣2x+2.

点P(﹣1,4﹣t).

将y=4﹣t代入y=﹣2x+2中,解得点E的横坐标为x=﹣1+

点G的横坐标为﹣1+,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4﹣

GE=(4﹣)﹣(4﹣t)=t﹣

又点A到GE的距离为,C到GE的距离为2﹣

即S=SAEG+SCEG=EGx +xEGx(2﹣

=x2x(t﹣)=﹣(t﹣2)2+1.

当t=2时,S的最大值为1;

(3)第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由四边形CQEH是菱形知CQ=CE=t,

根据APE∽△ABC,知=,即=

解得t=20﹣8

第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由四边形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t,PE=t,EM=2﹣t,MQ=4﹣2t.

则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2﹣t)2+(4﹣2t)2=t2

解得,t1=,t2=4(不合题意,舍去).

综上所述,t=20﹣8或t=

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