Question

10．如图①，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BA=BC．动点E、F同时从点B出发，点E沿折线 BA-AD-DC运动到点C时停止运动，点F沿BC运动到点C时停止运动，它们运动时的速度都是1cm/s．设E出发t s时，△EBF的面积为y cm²．已知y与t的函数图象如图②所示，其中曲线OM为抛物线的一部分，MN、NP为线段．

请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）AD=2cm，BC=5cm；
（2）求a的值，并用文字说明点N所表示的实际意义；
（3）直接写出当自变量t为何值时，函数y的值等于5．

Answer 1

分析 （1）此题的关键是要理解分段函数的意义，OM段是曲线，说明E、F分别在BA、BC上运动，此时y、t的关系式是二次函数；MN段是线段，且平行于t轴，那么此时F运动到终点C，且E在线段AD上运动，此时y为定值；NP段是线段，此时y、t的函数关系式是一次函数，此时E在线段CD上运动，此时y值随t的增大而减小；根据上面的分析，可知在MN之间时，E在线段AD上运动，在这个区间E点运动了2秒，所以AD=2cm；根据OM段的函数图象知：当t=5时，E、F分别运动到A、C两点，那么AB=BC=5；
（2）利用待定系数法分别求两个解析式．

解答 解：（1）由图可知：OM段为抛物线，此时点E、F分别在BA、BC上运动；
当E、A重合，F、C重合时，t=5s，
∴AB=BC=5cm；故答案为：2，5；

（2）过A作AH⊥BC，H为垂足，由已知BH=3，BA=BC=5，
∴AH=4
∴当点E、F分别运动到A、C时△EBF的面积为：$\frac{1}{2}$×BC×AH=$\frac{1}{2}$×5×4=10，
即a的值为10，
点N所表示的实际意义：当点E运动7s时到达点D，此时点F沿BC已运动到点C
并停止运动，这时△EBF的面积为10 cm²；

（3）当点E在BA上运动时，设抛物线的解析式为y=at²，把M点的坐标（5，10）代入得a=$\frac{2}{5}$，
∴y=$\frac{2}{5}$t²，0＜t≤5；
当点E在DC上运动时，设直线的解析式为y=kt+b，
把P（11，0），N（7，10）代入，得11k+b=0，7k+b=10，解得k=-$\frac{5}{2}$，b=$\frac{55}{2}$，
所以y=-$\frac{5}{2}$t+$\frac{55}{2}$，（7≤t＜11）
把y=5分别代入y=$\frac{2}{5}$t²和y=-$\frac{5}{2}$t+$\frac{55}{2}$得，5=$\frac{2}{5}$t²和5=-$\frac{5}{2}$t+$\frac{55}{2}$，解得：t=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 或t=9．

点评 此题主要考查了分段函数的应用、梯形的性质以及函数解析式的求法，能够正确的理解分段函数的意义是解答此题的关键．