Question

9．如图，已知：抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）交x轴于A（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D坐标；
（2）若点E在x轴上，且以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴右侧，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将△CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′．是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法可得出抛物线的解析式，令y=2可得出点D的坐标；
（2）分两种情况进行讨论，①当AE为一边时，AE∥PD，②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，求解点P坐标．
（3）结合图形可判断出点P在直线CD下方，设点P的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），当P点在y轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+2经过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
当y=2时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=2，解得：x₁=3，x₂=0（舍去），
即点D坐标为（3，2）．

（2）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：
①当AE为一边时，AE∥PD，
∴P₁（0，2），
②当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，
可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，
∴P点的纵坐标为-2，
代入抛物线的解析式：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-2，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P点的坐标为（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）
综上所述：P₁（0，2）；P₂（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2）；P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-2）．

（3）存在满足条件的点P，显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），

当P点在y轴右侧时（如图1），CQ=a，
PQ=2-（-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2）=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{3}{2}$a，
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，
∴∠FQ′P=∠OCQ′，
∴△COQ′∽△Q′FP，$\frac{Q′C}{CO}$=$\frac{Q′P}{FQ′}$，$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}-\frac{3}{2}a}{Q′F}$，
∴Q′F=a-3，
∴OQ′=OF-Q′F=a-（a-3）=3，CQ=CQ′=$\sqrt{C{O}^{2}+O{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
此时a=$\sqrt{13}$，点P的坐标为（$\sqrt{13}$，$\frac{-9+3\sqrt{13}}{2}$），

点评 此题考查了二次函数的综合应用，综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质，解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通，属于中考常涉及的题目，同学们一定要留意．