Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥AB于点D、交⊙O于点E，∠C=60°， 如
果⊙O的半径为2，那么OD=        ．

Answer 1

1

连接OA、OB．构造与圆周角∠AOC同弧的圆心角∠AOB、直角三角形AOD．利用圆周角定理（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）求得∠AOB=2∠C=120°；然后根据垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧）求得AD=BD，即OD是等腰三角形的底边AB上的高，然后在直角三角形AOD中由30°所对的直角边是斜边的一半，解得OD的值．

解：连接OA、OB．
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；
∵OD⊥AB，
∴AD=BD（垂径定理）；
又∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°；
在直角三角形AOD中，OD=OA（30°所对的直角边是斜边的一半），
∵⊙O的半径为2，
∴OA=2，
∴OD=1．
故答案为：1．
本题综合考查了垂径定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形．解题时，通过添加辅助线OA、OB，将条件中隐含的圆周角定理充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的．