Question

2．如图，AB为⊙O的直径，$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，CO的延长线交⊙O于点E，BA，ED的延长线交于点F．
（1）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$；
（2）若$\frac{AF}{DF}$=$\frac{2}{3}$，求$\frac{AE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{CB}+\widehat{BE}=\widehat{CD}+\widehat{DE}$，可以证明结论成立；
（2）要求$\frac{AE}{BE}$的值，根据三角形相似和勾股定理可以求得$\frac{AE}{BE}$的值，本题得以解决．

解答 （1）证明：∵$\widehat{CB}$=$\widehat{CD}$，$\widehat{CB}+\widehat{BE}=\widehat{CD}+\widehat{DE}$，
∴$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∵$\widehat{AC}=\widehat{BE}$，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$；
（2）连接BD，
∵$\widehat{BE}=\widehat{DE}$，
∴BD⊥EC，
∵DEG∽△AEB，
∴$\frac{DG}{DE}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BD}{DE}=\frac{AE}{AB}$，
∴$\frac{AE}{BD}=\frac{AB}{2DE}$，
∵△FAE∽△FDB，
∴$\frac{AF}{DF}=\frac{AE}{DB}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AB}{2DE}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{4}{3}$，
设AB=4x，BE=3x，
∴AE=$\sqrt{7}$x，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查三角形相似性质和判定、圆周角定理、勾股定理，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．