Question

17．如图，直线y=kx-2（k＞0）与双曲线$y=\frac{k}{x}$在第一象限内的交点为C，与x轴，y轴的交点分别为A，B，过点C作CD⊥x轴，垂足为D．若△OAB与△ACD的面积比为4：1，则k的值等于$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先利用直线的解析式求出点B的坐标，再判定△AOB∽△ADC，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出CD的长度，再根据双曲线的解析式求出点C的坐标，最后把点C的坐标代入直线解析式进行计算即可求出k的值．

解答 解：当x=0时，y=k×0-2=-2，
∴点B的坐标是（0，-2），
∴OB=2，
∵CD⊥x轴于点D，
∴∠CDA=90°，
∵∠BOA=90°，
∴∠CDA=∠BOA，
又∵∠CAD=∠BAO（对顶角相等），
∴△AOB∽△ADC，
∵△OAB与△ACD的面积比为4：1，
∴OB：CD=2：1，
∴CD=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵点C在双曲线$y=\frac{k}{x}$在上，
∴x=k，
∴点C的坐标是（k，1），
把点C的坐标代入y=kx-2（k＞0）得
∴k²-2=1，
解得k=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题是反比例函数综合题，主要考查了直线的交点问题，相似三角形的判定与相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，以及待定系数法求函数解析式的思想，综合性较强，但难度不大．