Question

7．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

Answer 1

分析 求出直线L的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出$\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，设AC=m，则PC=2m，根据△PCA≌△PDA，得出$\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，当△PAD∽△PBA时，根据$\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，AB=2$\sqrt{5}$，求出AP=4$\sqrt{5}$，m²+（2m）²=（4$\sqrt{5}$）²，得出m=±4，从而求出P点的坐标为（8，8）、（0，-8），若△PAD∽△BPA，得出$\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，求出PA=$\sqrt{5}$，从而得出m²+（2m）²=（$\sqrt{5}$）²，求出m=±1，即可得出P点的坐标为（5，2）、（3，-2）．

解答 解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线L的解析式为；y=2x-8，
∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴$\frac{BO}{CA}$=$\frac{AO}{PC}$，
∴$\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
设AC=m，则PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴$\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
如图1：当△PAD∽△PBA时，

则$\frac{AD}{BA}$=$\frac{PD}{PA}$，
则$\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AP=4$\sqrt{5}$，
∴m²+（2m）²=（4$\sqrt{5}$）²，
∴m=±4，
当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），
当m=-4时，如图2，

PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，-8），
如图3，若△PAD∽△BPA，

则$\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$=$\sqrt{5}$，
则m²+（2m）²=（$\sqrt{5}$）²，
∴m=±1，
当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），
当m=-1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，-2）；

则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．
故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

点评 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意有四个点．