Question

如图1，已知线段AC∥y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．

（1）判断△AOG的形状，并予以证明；（3分）

（2）若点B、C关于y轴对称，求证：AG=GB；‚AOOB。（4分）

（3）在（2）的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45°，连接CB交y轴于P点，求证：OB=OM。（5分）

 

Answer 1

（1）等腰三角形，证明略.  ………3分

（2）：设BC交y轴于K，过A作AN⊥y轴于N，

             易证AN=CK=BK，△ANG≌△BKG，∴AG=BG，………2分

         ‚   ………2分

     解法一 易证AG=OG，故设∠OAG=∠AOG=x，

             ∠GOB=∠GBO=y，∴2x+2y=180°，x+y=90°，

             ∴AO⊥BO.

     解法二：连BC，∵B、C关于y轴对称，AC//y轴，∴AC⊥BC，

             易证△COD≌△BOE（HL），∴∠DCO=∠ABO，

             ∴∠BAC+∠BOC=180° ，设∠BAO=∠CAO=x，

             ∠OBC=∠OCB=y，∴2x+∠BOC=180° ，

             又2y+∠BOC=180° ，∴x=y，故∠OAC=∠OBC，

            ∴∠AOB=∠ACB=90°，∴AO⊥OB.

（2）设∠OBC=x，则x+∠POB=90°,而∠POA+∠POB=90°，∴x=∠POA。

       由（1）知AG=OG，∴x=∠GAM。

       ∠OMB=∠GAM+∠ABM

              =x+∠ABM

              =x+∠PBM

              =∠MBO 。三角形OMB为等腰三角形，OB=OM