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8.如图,已知AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠BAC的平分线交⊙O于点D,交⊙O的切线BE于点E,过点D作DF⊥AC,交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若DF=3,DE=2,求$\frac{BE}{AD}$的值.

分析 (1)连接OD.根据切线的判定定理,只需证DF⊥OD即可;
(2)①连接BD.根据BE、DF两切线的性质证明△BDE∽△ABE;又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相等求得△ABE∽△AFD,所以△BDE∽△AFD;最后由相似三角形的对应边成比例求得$\frac{BE}{AD}=\frac{DE}{DF}=\frac{2}{3}$.

解答 (1)证明:如图,连结OD,
∵AD平分∠BAC,
∴∠DAF=∠DAO,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠DAF=∠ODA,
∴AF∥OD,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线,

(2)解:①连接BD,
∵直径AB,
∴∠ADB=90°,
∵圆O与BE相切,
∴∠ABE=90°,
∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90°,
∴∠DAB=∠DBE,
∴∠DBE=∠FAD,
∵∠BDE=∠AFD=90°,
∴△BDE∽△AFD,
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{DE}{DF}=\frac{2}{3}$.

点评 本题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质.比较复杂,解答此题的关键是作出辅助线,利用数形结合解答.

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