Question

如图在△ABC中，AB=AC，D为AB边上一点，且BD=2AD，过D作DE∥BC，⊙O内切于四边形BCED，则sinB的值为（　　）

• A、

  4

  5

• B、

  1

  2

• C、

  2

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：压轴题

分析：先由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出BC=3DE，根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形证明四边形BCED是等腰梯形，则BD=CE，再作等腰梯形BCED的高DF、EG，设DE=a，根据圆外切四边形及等腰梯形的性质得出BD=CE=2a，然后解Rt△BDF，即可求出sinB的值．

解答：解：∵DE∥BC，BD=2AD，
∴

DE

BC

=

AD

AB

=

1

3

，
∴BC=3DE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，BC≠DE，
∴四边形BCED是等腰梯形，
∴BD=CE．
作等腰梯形BCED的高DF、EG，则四边形DEGF是矩形，BF=CG．
设DE=a，则BC=3DE=3a，BF=CG=

BC-DE

2

=a．
∵⊙O内切于四边形BCED，
BD+CE=DE+BC=a+3a=4a，
∴BD=CE=2a．
在Rt△BDF中，∵∠BFD=90°，
∴DF=

BD2-BF2

=

4a2-a2

=

3

a，
∴sinB=

DF

BD

=

3 a

2a

=

3

2

．
故选D．

点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰梯形的判定与性质，圆外切四边形的性质，解直角三角形，综合性较强，难度适中．作出等腰梯形BCED的高DF、EG，设DE=a，用含a的代数式表示出BD是解题的关键．