Question

5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称．直线EA与直线OF交于点P．
（1）若M点坐标为（1，0）、F点坐标为（1，1），则点E坐标为（1，-1），线段EA=$\sqrt{2}$；
（2）若点M的坐标为（1，-1），当点F的坐标为（1，1）时，如图所示．
①求点P的坐标；
②若在平面直角坐标系中存在点B，使得以B，P，F，E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据中点性质，可得E点坐标，根据勾股定理，可得EA的长；
（2）①根据待定系数法，可得OF的解析式，EA的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
②根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案．

解答 解：（1）由点E和点F关于点M对称，得
E（1，-1），
由勾股定理，得
EA=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为：（1，-1），$\sqrt{2}$；
（2）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x． 
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵点E和点F关于点M（1，-1）对称，
∴E（1，-3）．
又∵A（2，0），点E在直线EA上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线EA的解析式为：y=3x-6． 
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=3x-6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点P的坐标是（3，3）．
②平行四边形EPBF时，点B的坐标是（3，7），
平行四边形EBPF时，B点坐标为（3，-1），
平行四边形EPFB时，B点坐标为（-1，-5），
综上所述：B（3，7），（3，-1），（-1，-5）．

点评 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了线段中点的性质，勾股定理；（2）利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求直线的交点坐标，（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论是解题关键．