Question

【题目】如图，已知二次函数c为常数的图象经过点，点，顶点为点M，过点A作轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

求该二次函数的解析式及点M的坐标．

过该二次函数图象上一点P作y轴的平行线，交一边于点Q，是否存在点P，使得以点P、Q、C、O为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

点N是射线CA上的动点，若点M、C、N所构成的三角形与相似，请直接写出所有点N的坐标直接写出结果，不必写解答过程．

Answer 1

【答案】二次函数解析式为，点M的坐标为； 存在平行四边形，； ，，，．

【解析】

将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；

根据平行四边形的判定对边平行且相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；

由题意分析可得，则若与相似，则要进行分类讨论，分成∽或∽两种，然后利用边的对应比值求出N点坐标的横坐标，再利用自变量与函数值的对应关系，可得答案．

把点，点代入二次函数得，

解得

二次函数解析式为，

配方得，

点M的坐标为；

由知，当时，

，

解之，或

、

令P点横坐标为m，

当PQ与BC边相交时，

，

此时不存在平行四边形．

当PQ与AC边相交时，

由、可得直线AC解析式

，

，

，

令

，

，

，

此方程无解，

此时不存在平行四边形．

当PQ与AB边相交时，

、

，

令

，

化简，得，

解得，

当时，，

点坐标为，

此时，存在平行四边形，；

连接MC，作轴并延长交AC于点N，则点G坐标为

，

，

，

把代入解得，则点P坐标为，

，，

，

，

由此可知，若点N在AC上，则，则点D与点C必为相似三角形对应点

若有∽，则有，

，，

，

，

，

若点N在y轴右侧，作轴，

，

，

把代入，解得，

；

同理可得，若点N在y轴左侧，

把代入，解得

；

若有∽，则有

，

，

若点N在y轴右侧，把代入，解得；

若点N在y轴左侧，把代入，解得

；．

所有符合题意得点N坐标有4个，分别为，，，．