Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为F，CG⊥AE，交弦AE的延长线于点G，且CG＝CF．

（1）求证：CG是⊙O的切线；

（2）若AE＝2，EG＝1，求由弦BC和所围成的弓形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)连接OC得∠ACO＝∠BAC，证明Rt△ACG≌Rt△ACF得∠CAG＝∠CAB，所以∠ACO＝∠CAG，故OC∥AG，可证明∠OCG+∠G＝180°，进而可得结论；

(2) 过点O作OM⊥AE，得AM＝ME＝1，再证明四边形OCGM为矩形得OC=2，从而可求得OF=1，进而得∠COF＝60°，再根据S弓形BC＝S扇形OBC- S△OBC求解即可．

(1)证明：连接OC．

∴OA＝OC

∴∠ACO＝∠BAC

∵CD⊥AB，CG⊥AE，

∴∠CGA=∠CFA=90°

∵CG＝CF，AC=AC

∴Rt△ACG≌Rt△ACF

∴∠CAG＝∠CAB，

∴∠ACO＝∠CAG

∴OC∥AG，

∴∠OCG+∠G＝180°

∵∠CGA=90°

∴∠OCG=90°，即，

∴CG是⊙O的切线．

(2)过点O作OM⊥AE，垂足为M，

则AM＝ME＝AE＝1，∠OMG＝∠OCG＝∠G＝90°．

∴四边形OCGM为矩形，

∴OC＝MG＝ME＋EG＝2．

在Rt△AGC和Rt△AFC中

∴Rt△AGC≌Rt△AFC，

∴AF＝AG＝AE＋EG＝3，

∴OF＝AF－OA＝1，

在Rt△COF中，

∵cos∠COF＝＝．

∴∠COF＝60°，CF＝OC·sin∠COF＝2×＝，

∴S弓形BC＝－×2×＝