Question

【题目】已知平而直角坐标系xOy（如图），二次函数y=ax2+bx+4的图像经过A(-2，0)、

B(4，0)两点，与y轴交于点C点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如果点E在线段OC上，且∠CBE=∠ACO，求点E的坐标；

（3）点M在y轴上，且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为上述二次函数图像的对称轴上的点，如果以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）或 M（0，6）

【解析】分析：用待定系数法求二次函数解析式即可.

过点作于点 在Rt△COB中，得出CH=EH.

在Rt△EBH中，. 设 则 CH=k，.

列方程求解即可.

分3种情况进行讨论①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，

③当为菱形的对角线时，分别求解即可.

详解：（1）∵ 抛物线与轴交于点A（-2，0），B（4，0），

∴

解得

∴ 抛物线的解析式为

（2）过点作于点

在Rt△ACO中， ∵A（-2，0），∴ OA=2，

当时 ∴OC=4，

在Rt△COB中，∵∠COB=90°，OC=OB=4，

∴.

∵，∴CH=EH.

∴在Rt△ACO中，，

∵∠CBE=∠ACO，∴在Rt△EBH中，.

设 则 CH=k，.

∴.

∴

∴

∴∴

（3）∵

∴抛物线的对称轴为直线

①当为菱形的边时，

∴

∵点P在二次函数的对称轴上，

点的横坐标为1，点的横坐标为1，

∴.

∵四边形是菱形，∴

∴

∴.

②当为菱形的边时，不存在，

③当为菱形的对角线时，

设交于点

∴互相垂直平分，

∴.

∵点在直线上，

在中，

∴∴

∴∴

∴

∴综上所述或 M（0，6）.