Question

如图，AB，CD为⊙O互相垂直的直径，P为

BC

上一动点，PA、PD交AB、CD于点E、F．求证：AF•DE为一定值．

Answer 1

考点：圆周角定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：首先连接AD，PB，BD，由AB，CD为⊙O互相垂直的直径，易证得△ADE∽△APD，△APF∽△DPB，然后由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DE=AF：DB，继而可得AF•DE=AD•DB=

2

OA•

2

OA=2OA²．

解答：证明：连结AD，PB，BD，
∵AB，CD为⊙O互相垂直的直径，
∴∠ADE=

1

2

∠AOC=90°，∠APD=

1

2

∠AOD=45°，
∴∠ADE=∠APD，
∵∠EAD=∠DAP，
∴△ADE∽△APD，
∴DE：PD=AD：AP，
∴AP：PD=AD：DE，
∵∠APF=∠DPB=45°，∠PAF=∠PDB，
∴△APF∽△DPB，
∴AF：DB=AP：PD，
∴AD：DE=AF：DB，
∴AF•DE=AD•DB=

2

OA•

2

OA=2OA²．
∴AF•DE为一定值．

点评：此题考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．