Question

20．关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个合适的k值并求出方程的解．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（-2）²-4×k×1＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围；
（2）由（1）中k的取值范围得出k的一个值代入原方程，求出方程的根即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程kx²-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）²-4×k×1＞0，
解得k＜1且k≠0．
∴k的取值范围为k＜1且k≠0；

（2）∵k＜1且k≠0，
∴k可以为$\frac{1}{2}$，
当k=$\frac{1}{2}$时，原方程可化为$\frac{1}{2}$x²-2x+1=0，解得x₁=2$+\sqrt{2}$，x₂=2$-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义，要注意k≠0是解答此题的关键．