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【题目】如图:已知ABCD中,以AB为斜边在ABCD内作等腰直角ABE,且AE=AD,连接DE,过E作EFDE交AB于F交DC于G,且AEF=15°

(1)若EF=,求AB的长.

(2)求证:2GE+EF=AB.

【答案】(1)AB=3(2)见解析

【解析】

试题分析:(1)作EHAB,交AB于H,根据等腰直角三角形的性质得到EAB=EBA=45°,EA=EB,于是得到EH=HB=AH=AB,于是得到EFH=EAB+AEF=60°,求得FEH=30°,根据直角三角形的性质即可得到结论;

(2)连接EC,根据三角形的内角和得到DEA=EDA=75°,于是得到EAD=30°,求出DAB=DCB=75°CBA=CDA=105°,由于ABE=45°,得到CBE=60°,推出BCE是等边三角形,求出DCE=15°,CE=BE=AE,推出DG=2GE,证得AEF≌△ECG,根据全等三角形的性质得到GC=FE,即可得到结论.

解:(1)作EHAB,交AB于H,

∵△ABE是等腰直角三角形,

∴∠EAB=EBA=45°,EA=EB,

EH=HB=AH=AB,

∴∠EFH=EAB+AEF=60°

∴∠FEH=30°

FH=EF=EH=

AB=3

(2)连接EC,

∵∠AEF=15°,EFDE,AE=AD,

∴∠DEA=EDA=75°

∴∠EAD=30°

∵∠BAE=45°

∴∠DAB=DCB=75°CBA=CDA=105°

∵∠ABE=45°

∴∠CBE=60°

AD=BE=BC

∴△BCE是等边三角形,

∴∠DCE=15°,CE=BE=AE,

∵∠GED=90°GDC=30°DGE=60°

DG=2GE

∵∠EGC=105°=AFE,CE=EF,DCE=15°=AEF

AEFECG中,

∴△AEF≌△ECG

GC=FE

AB=DC=DG+GC=2GE+CG=2GE+EF

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